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最大似然估计MLE 数据 $X = \{x_1, \cdots x_N\}$, 模型参数为$\theta$，Likelihood 定义为 $P(X | \theta)$：当参数为$\theta$时，观测到给定数据$X$的概率。 $$ P(X|\theta) = L(\theta | X) = P_\theta(X) \tag{1} $$ 最大似然估计 （Maximum Likelihood Estimation, MLE）: $$ \theta_{\mathrm{MLE}} = \arg \max_\theta P(X|\theta) \tag{2} $$ 最大似然估计：给定一组样本$X$，模型的参数$\theta$是研究对象。若能找到参数$\theta_{\mathrm{MLE}}$，使得样本发生的可能性最大，则此估计值$\theta_{\mathrm{MLE}}$为参数$\theta$的最大似然估计。 举例来说，如果模型是单个Gaussian Distribution下，参数为Gaussian Distribution的参数（均值$\mu$, 标准差$\Sigma$， $\theta = {\mu, \Sigma}$）. 给定一组数据$X$, 要计算$X$来自什么样的Gaussian，即：$P(\cdot | \theta) = f_\theta(\cdot) = \mathcal{N}(\cdot | \mu,\Sigma)$是一个Gaussian Distribution函数，目标为： $$ \theta_{\mathrm{MLE}} = \mu^\star, \Sigma^\star = \arg \max_{\mu,\Sigma} \sum^N_{i = 1} \log \mathcal{N}(x_i|\mu,\Sigma) \tag{3} $$ 即MLE的目标是找到最佳的高斯分布，是的从该分布中采样出数据$X$的概率最高。 ...